be out for the count

これはボクシングから来たフレーズです。ボクシングでダウンするとカウントが始まりますよね。

My kids were down for the count after a long day of traveling.

動き回った長い一日が終わって，子供たちは熟睡した

be down for the countで「気を失う，気を失ったように眠る」という意味です。イギリスではout for the countとoutを使います。倒れるように眠る，という表現と同じですかね。BBCの英語学習サイトでこの表現が説明されているので聞いてみて下さい。